Có tất cả bao nhiêu cặp các số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa...

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}>0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1>0 \\
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)\ne 0 \\
& x,y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}>1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1>1 \\
& x,y\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$.
Với điều kiện ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1>1$ thì ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)>0$ nên bất phương trình đã cho tương đương
${{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-4x+2{{y}^{2}} \right)<{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)$.
Suy ra ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}<3$.
Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.
Với ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=0$ ta được $\left( x;y \right)=\left( 2;0 \right)$.
Với ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$ thì ${{\left( x-2 \right)}^{2}}=1;{{y}^{2}}=0$ hoặc ${{\left( x-2 \right)}^{2}}=0;{{y}^{2}}=1$ ta được $\left( x;y \right)\in \left\{ \left( 2;\pm 1 \right),\left( 3;0 \right),\left( 1;0 \right) \right\}$.
Với ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ thì ${{\left( x-2 \right)}^{2}}={{y}^{2}}=1$ ta được $\left( x;y \right)\in \left\{ \left( 3;\pm 1 \right),\left( 1;\pm 1 \right) \right\}$.
Tuy nhiên các cặp số $\left( 2;0 \right),\left( 1;0 \right)$ và $\left( 1;\pm 1 \right)$ không thỏa mãn điều kiện ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}>1$.
Vậy có tất cả 5 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán.