Có tất cả bao nhiêu bộ số $\left( x;y \right)$ với $x,y$ nguyên và...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2023 \\
& \dfrac{2x+1}{x-3}>0,\dfrac{2y}{y+2}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:x,y\le 2023 \\
& x>3,y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
BPT đã cho có dạng $\left( x-3 \right)\left( y-2 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)+\left( x+4 \right)\left( y+2 \right){{\log }_{3}}\left( \dfrac{y-2}{y+2}+1 \right)\le 0$.
Xét $y=1$ thì BPT trở thành $-\left( x-3 \right){{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)+3\left( x+4 \right){{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}\le 0$
Rõ ràng bất phương trình này có nghiệm đúng với mọi $x>3$
Do $-\left( x-3 \right)<0,{{\log }_{2}}\left( \dfrac{x+4}{x-3}+1 \right)>{{\log }_{2}}\left( 0+1 \right)=0,3\left( x+4 \right)>0,{{\log }_{3}}\dfrac{2}{3}<0$.
Như vậy trường hợp này cho ta đúng $2020$ bộ $\left( x;y \right)=\left( x;1 \right)$ với $4\le x\le 2023,x\in \mathbb{N}$.
Xét $y=2$ thì thành $4\left( x+4 \right){{\log }_{3}}1\le 0$, BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà $4\le x\le 2023, x\in \mathbb{N}$.
Trường hợp này cho ta $2020$ cặp $\left( x;y \right)$ nữa.
Với $y>2,x>3$ thì $VT\left( * \right)>0$ nên không xảy ra.
Vậy có đúng $4040$ bộ số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.