Google
Câu hỏi: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200cm. cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng 120cm từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ bằng bao nhiêu?
A. $40\sqrt{3}$ cm
B. $40\sqrt{2}$ cm
C. 80 cm
D. 40 cm
A. $40\sqrt{3}$ cm
B. $40\sqrt{2}$ cm
C. 80 cm
D. 40 cm
Gọi kích thước 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là $a,b\Rightarrow 0<a,b<200$.
Độ dài cạnh huyền là $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=120$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=120-a\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{120}^{2}}-240a+{{a}^{2}}\Leftrightarrow a=60-\dfrac{{{b}^{2}}}{240}$
Diện tích tấm gỗ tam giác vuông là $S=\dfrac{ab}{2}\Leftrightarrow 2S=60b-\dfrac{{{b}^{3}}}{240}\xrightarrow[{}]{{}}f\left( b \right)$
Ta có ${f}'\left( b \right)=60-\dfrac{{{b}^{2}}}{80}$ ; ${f}'\left( b \right)=0\Leftrightarrow b=40\sqrt{3}$ suy ra $\max f\left( b \right)=f\left( 40\sqrt{3} \right)$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& a=40 \\
& b=40\sqrt{3}a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=80$.
Độ dài cạnh huyền là $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=120$.
$\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=120-a\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{120}^{2}}-240a+{{a}^{2}}\Leftrightarrow a=60-\dfrac{{{b}^{2}}}{240}$
Diện tích tấm gỗ tam giác vuông là $S=\dfrac{ab}{2}\Leftrightarrow 2S=60b-\dfrac{{{b}^{3}}}{240}\xrightarrow[{}]{{}}f\left( b \right)$
Ta có ${f}'\left( b \right)=60-\dfrac{{{b}^{2}}}{80}$ ; ${f}'\left( b \right)=0\Leftrightarrow b=40\sqrt{3}$ suy ra $\max f\left( b \right)=f\left( 40\sqrt{3} \right)$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& a=40 \\
& b=40\sqrt{3}a \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=80$.
Đáp án C.