Google
Câu hỏi: Có một mảnh bìa hình chữ nhật ABCD với $AB=4a,AD=2a$. Người ta đánh dấu M là trung điểm của AB, N và P là các điểm thuộc CD sao cho $DN=CP=a$. Sau đó người ta cuốn mảnh bìa lại sao cho cạnh BC trùng với cạnh AD tạo thành một hình trụ. Thể tích của tứ diện AMNP với các đỉnh A, M, N, P nằm trên hình trụ vừa tạo thành bằng:
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
C. $\dfrac{16{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
D. $\dfrac{32{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
Mảnh bìa sau khi được cuốn lại trở thành hình trụ như hình vẽ với $A\equiv B,D\equiv C$.
Ta dễ thấy $AM\bot NP$ và $d\left( AM,NP \right)=AD=2a$. Khi đó:
${{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{6}.AM.NP.d\left( AM,NP \right).\sin \left( AM,NP \right)=\dfrac{1}{6}.AM.NP.AD$.
Vì $2\pi R=AB$ nên $R=\dfrac{2a}{\pi }\Rightarrow AM=NP=2R=\dfrac{4a}{\pi }\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\dfrac{16{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}$.
A. $\dfrac{4{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
B. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
C. $\dfrac{16{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
D. $\dfrac{32{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}.$
Mảnh bìa sau khi được cuốn lại trở thành hình trụ như hình vẽ với $A\equiv B,D\equiv C$.
Ta dễ thấy $AM\bot NP$ và $d\left( AM,NP \right)=AD=2a$. Khi đó:
${{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{6}.AM.NP.d\left( AM,NP \right).\sin \left( AM,NP \right)=\dfrac{1}{6}.AM.NP.AD$.
Vì $2\pi R=AB$ nên $R=\dfrac{2a}{\pi }\Rightarrow AM=NP=2R=\dfrac{4a}{\pi }\Rightarrow {{V}_{AMNP}}=\dfrac{16{{a}^{3}}}{3{{\pi }^{2}}}$.
Đáp án C.