Google
Câu hỏi: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng $\dfrac{4}{3}$ lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và lượng nước trào ra là $\dfrac{337\pi }{3} \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right).$ Tính thể tích nước ban đầu ở trong bể.
A. $\approx 885,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
B. $\approx 1209,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
C. $\approx 1106,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
D. $\approx 1174,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
Gọi $r,{{R}_{mc}}$ lần lượt là bán kính đáy của khối nón và khối cầu, $a,b,c$ lần lượt là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có $a=4r$, $\Delta ABC$ đều cạnh $2r$ nên $BH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=r\sqrt{3}$ $\Rightarrow b=r\sqrt{3}+2r$.
${{R}_{mc}}=\dfrac{4}{3}r$ $\Rightarrow {{V}_{kc}}=\dfrac{4}{3}\pi R_{mc}^{3}$ $=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{4}{3}r \right)}^{3}}$ $={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{4}}\pi {{r}^{3}}$. ${{V}_{kn}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{3}}$ (do $h=r$ )
Ta có phương trình $3.\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{3}}$ $+{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{4}}\pi {{r}^{3}}$ $=\dfrac{337\pi }{3} $ $\Leftrightarrow r=3$ $\Rightarrow {{R}_{mc}}=4$.
Từ đó $a=12$, $b=6+3\sqrt{3}$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là 3 đỉnh của hình nón thì $\Delta DEF$ đều có cạnh bằng $6$ và nội tiếp đường tròn có bán kính $HM=\dfrac{6}{2\sin 60{}^\circ }$ $=2\sqrt{3}$.
Từ đó $IH=\sqrt{I{{M}^{2}}-H{{M}^{2}}}$ $=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2$, $c={{R}_{mc}}+IH+r$ $=4+2+3=9$.
Vậy thể tích nước ban đầu cũng chính là thể tích khối hộp chữ nhật ${{V}_{khcn}}=abc$ $=12.9.\left( 6+3\sqrt{3} \right)$ $\approx 1209,2$ $\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
A. $\approx 885,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
B. $\approx 1209,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
C. $\approx 1106,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
D. $\approx 1174,2 \left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
Gọi $r,{{R}_{mc}}$ lần lượt là bán kính đáy của khối nón và khối cầu, $a,b,c$ lần lượt là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật.
Ta có $a=4r$, $\Delta ABC$ đều cạnh $2r$ nên $BH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=r\sqrt{3}$ $\Rightarrow b=r\sqrt{3}+2r$.
${{R}_{mc}}=\dfrac{4}{3}r$ $\Rightarrow {{V}_{kc}}=\dfrac{4}{3}\pi R_{mc}^{3}$ $=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{4}{3}r \right)}^{3}}$ $={{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{4}}\pi {{r}^{3}}$. ${{V}_{kn}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$ $=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{3}}$ (do $h=r$ )
Ta có phương trình $3.\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{3}}$ $+{{\left( \dfrac{4}{3} \right)}^{4}}\pi {{r}^{3}}$ $=\dfrac{337\pi }{3} $ $\Leftrightarrow r=3$ $\Rightarrow {{R}_{mc}}=4$.
Từ đó $a=12$, $b=6+3\sqrt{3}$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là 3 đỉnh của hình nón thì $\Delta DEF$ đều có cạnh bằng $6$ và nội tiếp đường tròn có bán kính $HM=\dfrac{6}{2\sin 60{}^\circ }$ $=2\sqrt{3}$.
Từ đó $IH=\sqrt{I{{M}^{2}}-H{{M}^{2}}}$ $=\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=2$, $c={{R}_{mc}}+IH+r$ $=4+2+3=9$.
Vậy thể tích nước ban đầu cũng chính là thể tích khối hộp chữ nhật ${{V}_{khcn}}=abc$ $=12.9.\left( 6+3\sqrt{3} \right)$ $\approx 1209,2$ $\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)$.
Đáp án B.