Google
Câu hỏi: Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đôi một tiếp xúc với nhau, một khối nón có đường tròn đáy tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón còn lại có đường tròn đáy tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng $\frac{4}{3}$ lần bán kính đáy khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là $\frac{337\pi }{24}$ (lít). Thể tích nước ban đầu trong bể thuộc khoảng nào dưới đây? (tính theo đơn vị lít).
A. (150; 151).
B. (151; 152).
C. (139; 140).
D. (138; 139).
A. (150; 151).
B. (151; 152).
C. (139; 140).
D. (138; 139).
+) Gọi đáy bể là hình chữ nhật $ABCD$ và $I, J, E$ là tâm ba đường tròn đáy nón.
Ta thấy tam giác $IJE$ nối tâm của ba đường tròn là một tam giác đều cạnh $2R$.
$\Rightarrow AB=4R$ và $AD=MI+KE+EP=\left( 2+\sqrt{3} \right)R$.
+) Xác định chiều cao của bể:
Ta coi hình cầu có tâm $S$, chạm với khối nón có tâm đáy $I$ tại $U$ và bán kính cầu $SU=\frac{4R}{3}$.
Hạ $SO$ vuông góc đáy. Ta thấy chân đường cao $O$ là tâm tam giác đều $IJE$.
Lại có $IO=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$, áp dụng định lý Pitago cho tam giác $SHU$, ta được $SH=\frac{2R}{3}$.
Chiều cao của hình hộp là $h=SH+HO+SL=\frac{2R}{3}+R+\frac{4R}{3}=\frac{5R}{3}=3R$.
Mặt khác thể tích nước tràn ra bằng thể tích các khối nón và cầu có trong hình hộp.
$\Rightarrow \frac{337}{24}\pi =3{{V}_{n}}+{{V}_{c}}=3.\frac{1}{3}R.\pi {{R}^{2}}+\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{4}{3}R \right)}^{3}}=\frac{337\pi }{81}.{{R}^{3}}\Rightarrow {{R}^{3}}=\frac{81}{24}\Rightarrow R=\frac{3}{2} \left( dm \right)$
Vậy thể tích hình hộp là
$V=AB.AD.h=4R.\left( 2+\sqrt{3} \right)R.3R=12\left( 2+\sqrt{3} \right){{R}^{3}}=\frac{81}{2}\left( 2+\sqrt{3} \right)\approx 151,14$ ( $d{{m}^{3}}$ ).
Ta thấy tam giác $IJE$ nối tâm của ba đường tròn là một tam giác đều cạnh $2R$.
$\Rightarrow AB=4R$ và $AD=MI+KE+EP=\left( 2+\sqrt{3} \right)R$.
+) Xác định chiều cao của bể:
Ta coi hình cầu có tâm $S$, chạm với khối nón có tâm đáy $I$ tại $U$ và bán kính cầu $SU=\frac{4R}{3}$.
Hạ $SO$ vuông góc đáy. Ta thấy chân đường cao $O$ là tâm tam giác đều $IJE$.
Lại có $IO=\frac{2R\sqrt{3}}{3}$, áp dụng định lý Pitago cho tam giác $SHU$, ta được $SH=\frac{2R}{3}$.
Chiều cao của hình hộp là $h=SH+HO+SL=\frac{2R}{3}+R+\frac{4R}{3}=\frac{5R}{3}=3R$.
Mặt khác thể tích nước tràn ra bằng thể tích các khối nón và cầu có trong hình hộp.
$\Rightarrow \frac{337}{24}\pi =3{{V}_{n}}+{{V}_{c}}=3.\frac{1}{3}R.\pi {{R}^{2}}+\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{4}{3}R \right)}^{3}}=\frac{337\pi }{81}.{{R}^{3}}\Rightarrow {{R}^{3}}=\frac{81}{24}\Rightarrow R=\frac{3}{2} \left( dm \right)$
Vậy thể tích hình hộp là
$V=AB.AD.h=4R.\left( 2+\sqrt{3} \right)R.3R=12\left( 2+\sqrt{3} \right){{R}^{3}}=\frac{81}{2}\left( 2+\sqrt{3} \right)\approx 151,14$ ( $d{{m}^{3}}$ ).
Đáp án B.