Có hai chiếc hộp chứa bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc màu...

Gọi ${{n}_{1}},{{n}_{2}}$ lần lượt là số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai.
Theo giả thiết ta có ${{n}_{1}}+{{n}_{2}}=20.$
Gọi ${{b}_{1}},{{b}_{2}}$ lần lượt là số viên bi màu xanh trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai, với ${{b}_{1}},{{b}_{2}}\in \mathbb{N}$ và ${{b}_{1}}\le {{n}_{1}},{{b}_{2}}\le {{n}_{2}}.$
Xác suất để lấy được hai viên bi cùng màu xanh là $\dfrac{C_{{{b}_{1}}}^{1}C_{{{b}_{2}}}^{1}}{C_{{{n}_{1}}}^{1}C_{{{n}_{2}}}^{1}}=\dfrac{{{b}_{1}}{{b}_{2}}}{{{n}_{1}}{{n}_{2}}}.$
Theo giả thiết, ta có $\dfrac{{{b}_{1}}{{b}_{2}}}{{{n}_{1}}{{n}_{2}}}=\dfrac{55}{84}.$
Lại có ${{n}_{1}}{{n}_{2}}\le {{\left( \dfrac{{{n}_{1}}+{{n}_{2}}}{2} \right)}^{2}}=100$ và ${{n}_{1}},{{n}_{2}}$ là các số nguyên dương nên ${{n}_{1}}{{n}_{2}}=84.$
Giải hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{n}_{1}}+{{n}_{2}}=20 \\
& {{n}_{1}}{{n}_{2}}=84 \\
\end{aligned} \right. $ ta được $ \left\{ \begin{aligned}
& {{n}_{1}}=14 \\
& {{n}_{2}}=6 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{n}_{1}}=6 \\
& {{n}_{2}}=14 \\
\end{aligned} \right..$
Khi ${{n}_{1}}{{n}_{2}}=84$ thì ${{b}_{1}}{{b}_{2}}=55=5.11$ và do ${{b}_{1}},{{b}_{2}}$ là các số tự nhiên nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{b}_{1}}=5 \\
& {{b}_{2}}=11 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& {{b}_{1}}=11 \\
& {{b}_{2}}=5 \\
\end{aligned} \right..$
Do vai trò của hai hộp như nhau nên ta có thể chọn ${{n}_{1}}=14$ và ${{n}_{2}}=6.$ Khi đó ${{b}_{1}}=11$ và ${{b}_{2}}=5.$
Số bi đỏ trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là 3 và 1. Do đó xác suất cần tìm là $\dfrac{C_{3}^{1}C_{1}^{1}}{C_{14}^{1}C_{6}^{1}}=\dfrac{1}{28}.$