Có baoo nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $3z+\overline{z}=\left(...

Gọi $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Theo bài ra ta có $3z+\overline{z}=\left( 2+i\sqrt{3} \right)\left| z \right|\Leftrightarrow 4a+2bi=\left( 2+i\sqrt{3} \right)\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4a=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\
& 2b=\sqrt{3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge 0 \\
& b\ge 0 \\
& 4{{a}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\
& 4{{b}^{2}}=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge 0 \\
& b\ge 0 \\
& 3{{a}^{2}}={{b}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có vô số số phức $z$ thỏa mãn điều kiện đã cho.