Có bao nhiêusố nguyên dương $a$ thỏa mãn $\left( \sqrt{1+{{\ln }^{2}}a} +\ln a \right) \left( \sqrt{1+{{(a-3)}^{2}}} +a-3 \right)\le 1 ?$

Điều kiện: $a>0.$
Vì $\sqrt{1+{{\ln }^{2}}a}>\left| \ln a \right|\ge \ln a\Rightarrow \sqrt{1+{{\ln }^{2}}a}-\ln a>0.$
Do đó $\left( \sqrt{1+{{\ln }^{2}}a}+\ln a \right)\left( \sqrt{1+{{\left( a-3 \right)}^{2}}}+a-3 \right)\le 1\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{1+{{\left( a-3 \right)}^{2}}}+a-3}{\sqrt{1+{{\ln }^{2}}a}-\ln a}\le 1$
$\Leftrightarrow \sqrt{1+{{\left( a-3 \right)}^{2}}}+a-3\le \sqrt{1+{{\left( -\ln a \right)}^{2}}}+\left( -\ln a \right).\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=t+\sqrt{1+{{t}^{2}}},t\in \mathbb{R};f'\left( t \right)=1+\dfrac{t}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}}=\dfrac{t+\sqrt{1+{{t}^{2}}}}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}}>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Suy ra hàm số $f'\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Bất phương trình $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( a-3 \right)\le f\left( -\ln a \right)\Leftrightarrow a-3\le -\ln a\Leftrightarrow a-3+\ln a\le 0.$
Xét hàm số $g\left( a \right)=a-3+\ln a,a\in \left( 0;+\infty \right);g'\left( a \right)=1+\dfrac{1}{a}>0,\forall a>1.$
Hàm số $g\left( a \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right).$ Do đó phương trình $g\left( a \right)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm.
Mặt khác $g\left( 2 \right).g\left( 3 \right)=\left( \ln 2-1 \right)\ln 3<0,$ suy ra $\exists {{a}_{0}}\in \left( 2;3 \right)$ để $g\left( {{a}_{0}} \right)=0$
Do đó: $g\left( a \right)\le 0\Leftrightarrow a\le {{a}_{0}}\Rightarrow a\in \left( 0;{{a}_{0}} \right]\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right..$