Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số z thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z?$
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
Ta có: $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-6+i \right)z=5\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i\left( 1 \right)$
Lấy mô đun hai vế của (1) ta có: $\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$
Lấy bình phương hai vế và rút gọn ta được:
$\begin{aligned}
& {{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+11{{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|-4=0\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& \left| z \right|=10,9667... \\
& \left| z \right|=0,62... \\
& \left| z \right|=-0,587... \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Do $\left| z \right|\ge 0$, nên ta có $\left| z \right|=1,\left| z \right|=10,9667...,\left| z \right|=0,62...$ Thay vào (1) ta có 3 số phức thảo mãn đề bài.
Lấy mô đun hai vế của (1) ta có: $\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$
Lấy bình phương hai vế và rút gọn ta được:
$\begin{aligned}
& {{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+11{{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|-4=0\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& \left| z \right|=10,9667... \\
& \left| z \right|=0,62... \\
& \left| z \right|=-0,587... \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Do $\left| z \right|\ge 0$, nên ta có $\left| z \right|=1,\left| z \right|=10,9667...,\left| z \right|=0,62...$ Thay vào (1) ta có 3 số phức thảo mãn đề bài.
Đáp án B.