Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ để phương trình...

Phương pháp:
Ứng với mỗi TH tìm cụ thể số đường TCN của đồ thị hàm số, tìm số đường TCĐ thỏa mãn yêu cầu bằng cách sử dụng bài toán tương giao.
Cách giải:
ĐKXĐ: $-3\le x\le 3.$
Đặt $t=x+\sqrt{9-{{x}^{2}}}\Rightarrow {{t}^{2}}=9+2x\sqrt{9-{{x}^{2}}}\Rightarrow x\sqrt{9-{{x}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2}.$
Khi đó phương trình trở thành
${{2}^{m}}+{{2}^{3m+2}}=t\left( 5+\dfrac{{{t}^{2}}-9}{2} \right)$
$\Leftrightarrow {{2.2}^{m}}+{{2.2}^{3m+2}}=t\left( {{t}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{2}^{m+1}}+{{2}^{3m+3}}={{t}^{3}}+t$
$\Leftrightarrow {{2}^{3\left( m+1 \right)}}+{{2}^{m+1}}={{t}^{3}}+t$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ ta có $f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0\forall \text{t}\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Lại có $f\left( t \right)=f\left( {{2}^{m+1}} \right)\Leftrightarrow t={{2}^{m+1}}\Leftrightarrow x+\sqrt{9-{{x}^{2}}}={{2}^{m+1}}\left( * \right).$
Xét hàm số $g\left( x \right)=x+\sqrt{9-{{x}^{2}}}$ với $x\in \left[ -3;3 \right]$ ta có: $g'\left( x \right)=1-\dfrac{x}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{9-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{9-{{x}^{2}}}}.$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{9-{{x}^{2}}}=x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& 9-{{x}^{2}}={{x}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{9}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.$
Ta có BBT:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi $-3\le {{2}^{m+1}}\le 3\sqrt{2}\Leftrightarrow m\le {{\log }_{2}}\left( 3\sqrt{2} \right)-1.$
Mà $m\in \mathbb{N}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1 \right\}.$
Vậy có 2 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.