Có bao nhiêu số tự nhiên m để $\int\limits_{0}^{2}{\left|...

$\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-2{{m}^{2}} \right|dx}=\left| \int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-2{{m}^{2}} \right)dx} \right|$ (*)
Ta có: ${{x}^{2}}-2{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-m\sqrt{2} \\
& x=m\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right..$
TH1: Nếu $m=0$ thì (*) luôn đúng.
TH2: Nếu $m\ne 0$ thì (*) đúng $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-2{{m}^{2}}>0\left( 1 \right) \\
& {{x}^{2}}-2{{m}^{2}}<0\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. $với mọi$ x\in \left[ 0;2 \right].$
+) $m>0$. (1) đúng $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m\sqrt{2}<m\sqrt{2}\le 0 \\
& 2\le -m\sqrt{2}<m\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$(vô nghiệm),
(2) đúng$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -m\sqrt{2}\le 0 \\
& m\sqrt{2}\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& m\ge \sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge \sqrt{2}.$
+) $m<0.$ (1) đúng $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\sqrt{2}<-m\sqrt{2}\le 0 \\
& 2\le m\sqrt{2}<-m\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$(vô nghiệm).
(2) đúng$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\sqrt{2}\le 0 \\
& -m\sqrt{2}\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le 0 \\
& m\le -\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -\sqrt{2}.$
Suy ra $m\in \left( -\infty ;-\sqrt{2} \right]\cup \left[ \sqrt{2};+\infty \right)\cup \left\{ 0 \right\}$ là giá trị cần tìm.