Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau từng đôi một...

Chữ số 5 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 4 nên ta có thể có 154 hoặc 451.
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ (các chữ số khác nhau từng đôi một và $a,b,c$ thuộc $\left\{ 0,2,3,6,7,8,9 \right\}$ ), sau đó ta chèn thêm 154 hoặc 451 để có được số gồm 6 chữ số cần tìm.
- Trường hợp 1: $a\ne 0$, số cách chọn $a$ là 6, số cách chọn $b$ và $c$ là $A_{6}^{2}$, sau đó chèn 154 hoặc 451 vào 4 vị trí còn lại nên có $6.A_{6}^{2}.4.2$ cách.
- Trường hợp 2: $a=0$, số cách chọn $a$ là 1, số cách chọn $b$ và $c$ là $A_{6}^{2}$, sau đó chèn 154 hoặc 451 vào vị trí trước $a$ có duy nhất 1 cách nên có $A_{6}^{2}.2$ cách.
Vậy có $6.A_{6}^{2}.4.2+A_{6}^{2}.2=1500$ (số).