Có bao nhiêu số tự nhiên có $7$ chữ số khác nhau từng đôi một...

Gọi số có dạng $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}{{a}_{7}}}$
TH1: ${{a}_{1}}=0$
Có $4$ cách chọn vị trí cho bộ số $\left\{ 1;2;3 \right\}$
Hoán vị hai số $1$ và $3$ là $2!$
Chọn ba chữ số khác nhau vào ba vị trí còn lại có $A_{6}^{3}$ cách
$\Rightarrow 4.2!.A_{6}^{3}$ số
TH2: Sắp xếp bất kì số có $7$ chữ số khác nhau bao gồm cả số $0$ đứng đầu
Có $5$ cách chọn vị trí cho bộ số $\left\{ 1;2;3 \right\}$
Hoán vị hai số $1$ và $3$ là $2!$
Chọn bốn chữ số khác nhau vào bốn vị trí còn lại có $A_{7}^{4}$ cách
$\Rightarrow 5.2!.A_{7}^{4}$ số
Vậy $5.2!.A_{7}^{4}-4.2!.A_{6}^{3}=7440$ số.