Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số thực dương $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ trên đoạn $\left[ m+1;m+2 \right]$ bằng $53$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $1$.
A. $2$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $1$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên:
Dựa theo bảng biến thiên thì để giá trị lớn nhất của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+1$ trên đoạn $\left[ m+1;m+2 \right]$ bằng $53$ thì $m+1>1\Leftrightarrow m>0$.
Khi đó $\underset{\left[ m+1;m+2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( m+2 \right)={{\left( m+2 \right)}^{3}}-3\left( m+2 \right)+1=53$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}+6{{m}^{2}}+9m-50=0$ $\Leftrightarrow m=2$.
Vậy có $1$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên:
Khi đó $\underset{\left[ m+1;m+2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( m+2 \right)={{\left( m+2 \right)}^{3}}-3\left( m+2 \right)+1=53$
$\Leftrightarrow {{m}^{3}}+6{{m}^{2}}+9m-50=0$ $\Leftrightarrow m=2$.
Vậy có $1$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án D.