Có bao nhiêu số thực $a < - 1$ để...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Có bao nhiêu số thực

a < - 1

để

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + a} d x = \frac{1}{2 \sqrt{- a}} \ln \frac{1}{2}

?
A.

1

.
B.

2

.
C.

0

.
D. Vô số.

Do

a < - 1

nên không mất tổng quát giả sử

a = - b

, ta tìm

b > 1

thỏa mãn yêu cầu.

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} - b} d x = \int_{0}^{1} \frac{1}{(x - \sqrt{b}) (x + \sqrt{b})} d x = \frac{1}{2 \sqrt{b}} \int_{0}^{1} (\frac{1}{x - \sqrt{b}} - \frac{1}{x + \sqrt{b}}) d x

= \frac{1}{2 \sqrt{a}} l {n | \frac{x - \sqrt{a}}{x + \sqrt{a}} | |}_{0}^{1} = \frac{1}{2 \sqrt{a}} \ln | \frac{1 - \sqrt{b}}{1 + \sqrt{b}} |

Theo giả thiết ta có:

| \frac{1 - \sqrt{b}}{1 + \sqrt{b}} | = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 | 1 - \sqrt{b} | = | 1 + \sqrt{b} | \Leftrightarrow 3 b - 10 \sqrt{b} + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} \sqrt{b} = \frac{1}{3} \\ \sqrt{b} = 3 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} b = \frac{1}{9} \\ b = 9 \end{aligned}

Do

b > 1

nên

b = 9 \Rightarrow a = - 9

.

Đáp án A.

Có bao nhiêu số thực a<−1 để...