Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số số phức z thỏa mãn $\left| z+1 \right|=2\sqrt{5}$ và ${{\left( z-1 \right)}^{2}}$ là số thuần ảo?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 4.
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 4.
Giả sử $z=a+bi\ \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$, ta có $\left| z+1 \right|=2\sqrt{5}$
$\Leftrightarrow \left| a+bi+1 \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a=19.$
Lại có ${{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1+bi \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left( a-1 \right)i$ là số thuần ảo.
Nên ${{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}+2a=19\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}=18\Leftrightarrow a=\pm 3$.
+ Với $a=3\Rightarrow {{b}^{2}}=4\Leftrightarrow b=\pm 2\Rightarrow z=3\pm 2i$.
+ Với $a=-3\Rightarrow {{b}^{2}}=16\Leftrightarrow b=\pm 4\Rightarrow z=-3\pm 4i$.
Do đó sẽ có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.
$\Leftrightarrow \left| a+bi+1 \right|=2\sqrt{5}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a=19.$
Lại có ${{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( a-1+bi \right)}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left( a-1 \right)i$ là số thuần ảo.
Nên ${{\left( a-1 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}+2a=19\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}=18\Leftrightarrow a=\pm 3$.
+ Với $a=3\Rightarrow {{b}^{2}}=4\Leftrightarrow b=\pm 2\Rightarrow z=3\pm 2i$.
+ Với $a=-3\Rightarrow {{b}^{2}}=16\Leftrightarrow b=\pm 4\Rightarrow z=-3\pm 4i$.
Do đó sẽ có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.
Đáp án D.