Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${(z + 2 i)}^{2}$ là số thuần ảo...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

{(z + 2 i)}^{2}

là số thuần ảo và

(z + i) (\overset{―}{z} - 2)

là số thực?
A.

1

.
B.

0

.
C.

2

.
D.

4

.

Đặt

z = x + y i

suy ra

{(z + 2 i)}^{2} = {(x + y i + 2 i)}^{2} = {[x + (y + 2) i]}^{2} = x^{2} - {(y + 2)}^{2} + 2 x (y + 2) i

Ta có

{(z + 2 i)}^{2}

là số thuần ảo suy ra:

x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = {(y + 2)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = y + 2 \\ x = - (y + 2) \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} y = x - 2 \\ y = - x - 2 \end{matrix} (1)

\begin{aligned} (z + i) (\overset{―}{z} - 2) = (x + y i + i) (x - y i - 2) = [x + (y + 1) i] [(x - 2) - y i] \\ = x (x - 2) + y (y + 1) + [- x y + (x - 2) (y + 1)] i = (x^{2} - 2 x + y^{2} + y) + (x - 2 y - 2) i \end{aligned}

Ta có

(z + i) (\overset{―}{z} - 2)

là số thực suy ra:

x - 2 y - 2 = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra hệ phương trình:

{\begin{matrix} [\begin{matrix} y = x - 2 \\ y = - x - 2 \end{matrix} (1) \\ x - 2 y - 2 = 0 (2) \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} {\begin{aligned} y = x - 2 \\ x - 2 y - 2 = 0 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} y = - x - 2 \\ x - 2 y - 2 = 0 \end{aligned} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} {\begin{aligned} x = 2 \\ y = 0 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} x = \frac{- 2}{3} \\ y = \frac{- 4}{3} \end{aligned} \end{matrix}

Vậy có hai số phức

z

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C.

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (z+2i)2 là số thuần ảo...