Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{(z+2i)}^{2}}$ là số thuần ảo...

Đặt $z=x+yi$ suy ra ${{\left( z+2i \right)}^{2}}={{\left( x+yi+2i \right)}^{2}}={{\left[ x+\left( y+2 \right)i \right]}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( y+2 \right)}^{2}}+2x\left( y+2 \right)i$
Ta có ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo suy ra:
${{x}^{2}}-{{\left( y+2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{\left( y+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=y+2 \\
x=-\left( y+2 \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
y=x-2 \\
y=-x-2 \\
\end{matrix} \right. \left( 1 \right)$
$\begin{aligned}
& (z+i)\left( \overline{z}-2 \right)=\left( x+yi+i \right)\left( x-yi-2 \right)=\left[ x+\left( y+1 \right)i \right]\left[ \left( x-2 \right)-yi \right] \\
& =x\left( x-2 \right)+y\left( y+1 \right)+\left[ -xy+\left( x-2 \right)\left( y+1 \right) \right]i=\left( {{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}+y \right)+\left( x-2y-2 \right)i \\
\end{aligned}$
Ta có $(z+i)\left( \overline{z}-2 \right)$ là số thực suy ra: $x-2y-2=0\text{ }\left( 2 \right)$
Từ (1) và (2) suy ra hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix}
\left[ \begin{matrix}
y=x-2 \\
y=-x-2 \\
\end{matrix} \right.\left( 1 \right) \\
x-2y-2=0\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{aligned}
& y=x-2 \\
& x-2y-2=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\left\{ \begin{aligned}
& y=-x-2 \\
& x-2y-2=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{aligned}
& x=2 \\
& y=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-2}{3} \\
& y=\dfrac{-4}{3} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{matrix} \right.$
Vậy có hai số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.