Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z|={{2021}^{2}}$ và $\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\dfrac{1}{2021} \right)$ là số thuần ảo?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. 4.
Gọi số phức $z=a+bi \left( a,b\in \mathbb{R} \right) \Rightarrow \bar{z}=a-bi$
Theo đề bài, $|z|={{2021}^{2}} \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}} \left( 1 \right)$
Xét:
$\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\dfrac{1}{2021} \right)=z \bar{z}-\dfrac{1}{2021}z+2021i \bar{z}-i$ $=2021-\dfrac{1}{2021}\left( a+bi \right)+2021i\left( a-bi \right)-i$ $=\left( 2021-\dfrac{1}{2021}a+2021b \right)+\left( 2021a-\dfrac{1}{2021}b-1 \right)i$
$\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\dfrac{1}{2021} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow 2021-\dfrac{1}{2021}a+2021b=0\Leftrightarrow a={{2021}^{2}}\left( b+1 \right)$
Thế $a={{2021}^{2}}\left( b+1 \right)$ vào phương trình $\left( 1 \right)$, ta được: ${{2021}^{4}}{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}}\Leftrightarrow \left( {{2021}^{4}}+1 \right){{b}^{2}}+{{2.2021}^{4}}b=0$
Phương trình này có hai nghiệm.. Vậy có 2 số phức thỏa mãn.
Theo đề bài, $|z|={{2021}^{2}} \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}} \left( 1 \right)$
Xét:
$\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\dfrac{1}{2021} \right)=z \bar{z}-\dfrac{1}{2021}z+2021i \bar{z}-i$ $=2021-\dfrac{1}{2021}\left( a+bi \right)+2021i\left( a-bi \right)-i$ $=\left( 2021-\dfrac{1}{2021}a+2021b \right)+\left( 2021a-\dfrac{1}{2021}b-1 \right)i$
$\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\dfrac{1}{2021} \right)$ là số thuần ảo $\Leftrightarrow 2021-\dfrac{1}{2021}a+2021b=0\Leftrightarrow a={{2021}^{2}}\left( b+1 \right)$
Thế $a={{2021}^{2}}\left( b+1 \right)$ vào phương trình $\left( 1 \right)$, ta được: ${{2021}^{4}}{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}}\Leftrightarrow \left( {{2021}^{4}}+1 \right){{b}^{2}}+{{2.2021}^{4}}b=0$
Phương trình này có hai nghiệm.. Vậy có 2 số phức thỏa mãn.
Đáp án C.