Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|=1$ và $\left| 5z-\overline{z}-8-6i \right|=12?$
A. 0
B. 2
C. 4
D. 1
A. 0
B. 2
C. 4
D. 1
Cách giải:
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\left| z \right|=1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O\left( 0;0 \right)$ và bán kính $R=1.$
Lại có:
$\left| 5z-\overline{z}-8-6i \right|=12$
$\Leftrightarrow \left| 5\left( x+yi \right)-x+yi-8-6i \right|=12$
$\Leftrightarrow \left| 4x-8+\left( 6y-6 \right)i \right|=12$
$\Leftrightarrow \left| \dfrac{x-2}{3}+\dfrac{y-1}{2}i \right|=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{9}+\dfrac{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}{4}=1$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường elip $\left( E \right)$ có tâm đối xứng là $I\left( 2;1 \right)$, trục lớn bằng 6, trục bé bằng 4.
Ta có đồ thị:
Đường tròn $\left( C \right)$ và elip $\left( E \right)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$
Ta có: $\left| z \right|=1\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O\left( 0;0 \right)$ và bán kính $R=1.$
Lại có:
$\left| 5z-\overline{z}-8-6i \right|=12$
$\Leftrightarrow \left| 5\left( x+yi \right)-x+yi-8-6i \right|=12$
$\Leftrightarrow \left| 4x-8+\left( 6y-6 \right)i \right|=12$
$\Leftrightarrow \left| \dfrac{x-2}{3}+\dfrac{y-1}{2}i \right|=1$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{9}+\dfrac{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}{4}=1$
$\Rightarrow $ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường elip $\left( E \right)$ có tâm đối xứng là $I\left( 2;1 \right)$, trục lớn bằng 6, trục bé bằng 4.
Ta có đồ thị:
Đường tròn $\left( C \right)$ và elip $\left( E \right)$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.