Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $| z | = 1$ và $\left|...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

| z | = 1

và

| z^{3} + 2024 z + \overset{―}{z} | - 2 \sqrt{3} | z + \overset{―}{z} | = 2019

(*)

?
A.

3

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

4

.

Ta có

z . \overset{―}{z} = {| z |}^{2} = 1 \Rightarrow \overset{―}{z} = \frac{1}{z}

Khi đó

(*) \Leftrightarrow | z^{3} + 2024 z + \frac{1}{z} | - 2 \sqrt{3} | z + \frac{1}{z} | = 2019

$$

\Leftrightarrow | z | | z^{2} + \frac{1}{z^{2}} + 2024 | - 2 \sqrt{3} | z + \frac{1}{z} | = 2019

\Leftrightarrow | {(z + \frac{1}{z})}^{2} + 2022 | - 2 \sqrt{3} | z + \frac{1}{z} | = 2019 (* *)

Đặt

z = a + b i (a, b \in R)

\Rightarrow z + \frac{1}{z} = z + \frac{\overset{―}{z}}{z . \overset{―}{z}}

= 2 a

( số thực) ( Vì

z . \overset{―}{z} = {| z |}^{2} = 1

)
Vậy,

(* *) \Leftrightarrow | 4 a^{2} + 2022 | - 2 \sqrt{3} | 2 a | = 2019

\Leftrightarrow 4 a^{2} - 4 \sqrt{3} | a | + 3 = 0

\Leftrightarrow {(2 | a | - \sqrt{3})}^{2} = 0 \Leftrightarrow | a | = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow

[\begin{aligned} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow [\begin{aligned} b = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{1}{2} \end{aligned} \\ a = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow [\begin{aligned} b = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{1}{2} \end{aligned} \end{aligned}

Vậy có

4

số phức thỏa mãn.

Đáp án D.

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z|=1 và $\left|...