Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thoả mãn $\left| z+i \right|=2$ và ${{\left( z-2 \right)}^{2}}$ là số thuần ảo?
A. $4$
B. $2$
C. $3$
D. $1$
A. $4$
B. $2$
C. $3$
D. $1$
Giả sử : $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$. Theo giả thiết:
$\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$
${{\left( z-2 \right)}^{2}}={{\left( x-2+yi \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}+2\left( x-2 \right)yi$ là số thuần ảo. Nên: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}={{y}^{2}}$
TH1: $x-2=y$ thì: ${{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+6y+1=0\Leftrightarrow y=\dfrac{-3\pm \sqrt{7}}{2}$
Nên TH1 có $2$ số phức thỏa mãn.
TH2: $x-2=-y$ thì: ${{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-2y+1=0$ ( vô nghiệm ).
Vậy có $2$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
$\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$
${{\left( z-2 \right)}^{2}}={{\left( x-2+yi \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}-{{y}^{2}}+2\left( x-2 \right)yi$ là số thuần ảo. Nên: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}={{y}^{2}}$
TH1: $x-2=y$ thì: ${{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+6y+1=0\Leftrightarrow y=\dfrac{-3\pm \sqrt{7}}{2}$
Nên TH1 có $2$ số phức thỏa mãn.
TH2: $x-2=-y$ thì: ${{\left( 2-y \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}-2y+1=0$ ( vô nghiệm ).
Vậy có $2$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.