Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z+3i \right|=\sqrt{13}$ và...

Gọi số phức $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Ta có $\left| z+3i \right|=\sqrt{13}\Leftrightarrow \left| a+bi+3i \right|=\sqrt{13}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=13\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+6b-4=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4-6b\left( 1 \right).$
$\dfrac{z}{z+2}=1-\dfrac{2}{z+2}=1-\dfrac{2}{a+2+bi}=1-\dfrac{2\left( a+2-bi \right)}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$ (nhân liên hợp mẫu)
$=\dfrac{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-4}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{2b}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}+\dfrac{2b}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}i.$
Do $\dfrac{z}{z+2}$ là số thuần ảo nên$\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a}{{{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2a=0\left( 2 \right) \\
& a\ne -2 \\
& b\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Thay (1) vào (2) ta có $4-6b+2a=0\Leftrightarrow a=3b-2$ thay vào (1) ta có
${{\left( 3b-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-4+6b=0\Leftrightarrow 10{{b}^{2}}-6b=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0\left( L \right) \\
& b=\dfrac{3}{5}\Rightarrow a=\dfrac{-1}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có một số phức cần tìm.