Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

| z^{2} | = 2 | z + \overset{―}{z} | + 4

và

| z - 1 - i | = | z - 3 + 3 i |

?
A. 4.
B. 3.
C. 1.
D. 2.

Đặt

z = a + b i

.
Khi đó ta có hệ phương trình

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = 4 | a | + 4 \\ \sqrt{{(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2}} = \sqrt{{(a - 3)}^{2} + {(b + 3)}^{2}} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = 4 | a | + 4 \\ a^{2} + b^{2} - 2 a - 2 b + 2 = a^{2} + b^{2} - 6 a - 6 b + 18 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a^{2} + b^{2} = 4 | a | + 4 \\ 4 a = 8 b + 16 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} {(2 b + 4)}^{2} + b^{2} = 4 | 2 b + 4 | + 4 \\ a = 2 b + 4 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 b + 4 \\ 5 b^{2} + 16 b + 12 = | 8 b + 16 | \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a = 2 b + 4 \\ [\begin{aligned} 5 b^{2} + 16 b + 12 = 8 b + 16 \\ 5 b^{2} + 16 b + 12 = - 8 b - 16 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 = 2 b + 4 \\ [\begin{aligned} b = \frac{2}{5} \\ b = - 2 \\ b = - \frac{14}{5} \end{aligned} \end{aligned}

.
Vậy ta có các số phức

z_{1} = - 2 i; z_{2} = \frac{24}{5} + \frac{2}{5} i; z_{3} = - \frac{8}{5} - \frac{14}{5} i

(thỏa mãn).

Đáp án B.

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| {{z}^{2}}...