Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $| z + 2 + 3 i | = 5$ và...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn

| z + 2 + 3 i | = 5

và

\frac{z}{z - 2}

là số thuần ảo?
A. 2
B. Vô số
C. 1
D. 0

Đặt

z = a + b i (a, b \in R)

.
Ta có

| z + 2 + 3 i | = 5 \Leftrightarrow | a + 2 + (b + 3) i | = 5 \Leftrightarrow {(a + 2)}^{2} + {(b + 3)}^{2} = 25 (1)

.
Và

\frac{z}{z - 2} = \frac{a + b i}{a - 2 + b i} = \frac{(a + b i) (a - 2 - b i)}{{(a - 2)}^{2} + b^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a - 2 b i}{{(a - 2)}^{2} + b^{2}}

là số thuần ảo khi và chỉ khi

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} - 2 a = 0 \\ {(a - 2)}^{2} + b^{2} = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a \neq 2, b \neq 0 \\ a^{2} + b^{2} - 2 a = 0 \end{aligned} (2)

.
Từ (1), (2) suy ra

{\begin{aligned} a^{2} + b^{2} + 4 a + 6 b = 12 \\ a^{2} + b^{2} - 2 a = 0 \\ a \neq 2; b \neq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 2 - a \\ a^{2} + b^{2} - 2 a = 0 \Leftrightarrow a = b = 1 \\ a \neq 2; b \neq 0 \end{aligned}

.

Đáp án C.

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z+2+3i|=5 và...