Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+2+3i \right|=5$ và...

Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| z+2+3i \right|=5\Leftrightarrow \left| a+2+\left( b+3 \right)i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=25\ \ \ \left( 1 \right)$.
Và $\dfrac{z}{z-2}=\dfrac{a+bi}{a-2+bi}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( a-2-bi \right)}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a-2bi}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}$ là số thuần ảo khi và chỉ khi
$\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a=0 \\
& {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ne 2,b\ne 0 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a=0 \\
\end{aligned} \right.\ \ \ \left( 2 \right)$.
Từ (1), (2) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4a+6b=12 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a=0 \\
& a\ne 2;\ b\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2-a \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a=0\Leftrightarrow a=b=1 \\
& a\ne 2;\ b\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$.