Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn ${{\left| z-1...

HD: Đặt $z=a+bi\Rightarrow \overrightarrow{z}=a-bi$ ta có:
${{\left| a+bi-1 \right|}^{2}}+\left| a+bi-\left( a-bi \right) \right|i+\left( a+bi+a-bi \right).{{\left( {{i}^{2}} \right)}^{1009}}.i=1$
$\Leftrightarrow {{\left| a+bi-1 \right|}^{2}}+\left| 2bi \right|i-2a.i=1\Leftrightarrow {{(a-1)}^{2}}+{{b}^{2}}+\left| 2b \right|i-2a.i=1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& 2\left| b \right|=2a \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& {{b}^{2}}={{a}^{2}}\left( a\ge 0 \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}=1\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}-2a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=0 \\
& a=1 \\
\end{aligned} \right.$
Với $a=0\Rightarrow b=0.$
Với $a=1\Rightarrow b=\pm 1.$
Vậy có 3 số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.