Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i...

Giả sử $z=x+yi$ $\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$.
Khi đó $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=18 \left( 1 \right)$.
${{\left( z+2i \right)}^{2}}={{\left[ x+\left( y+2 \right)i \right]}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( y+2 \right)}^{2}}+2x\left( y+2 \right)i$.
Theo giả thiết ta có $2x\left( y+2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $x=0$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình
${{1}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=18\Leftrightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}=17\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=3+\sqrt{17} \\
& y=3-\sqrt{17} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{1}}=\left( 3+\sqrt{17} \right)i \\
& {{z}_{1}}=\left( 3-\sqrt{17} \right)i \\
\end{aligned} \right.$.
Với $y=-2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( -2-3 \right)}^{2}}=18\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}=-7$ vô nghiệm.
Vậy có $2$ số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.