Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1-3i...

Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right).$ Khi đó $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=18\left( 1 \right).$
${{\left( z+2i \right)}^{2}}={{\left[ x+\left( y+2 \right)i \right]}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( y+2 \right)}^{2}}+2x\left( y+2 \right)i.$
Theo giả thiết ta có ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo nên ${{x}^{2}}-{{\left( y+2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=y+2 \\
& x=-\left( y+2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Với $x=y+2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow y=0\Rightarrow x=2\Rightarrow {{z}_{1}}=2.$
Với $x=-\left( y+2 \right)$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình $2{{y}^{2}}-4y-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=1+\sqrt{5} \\
& y=1-\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{z}_{2}}=-3-\sqrt{5}+\left( 1+\sqrt{5} \right)i \\
& {{x}_{3}}=-3+\sqrt{5}+\left( 1-\sqrt{5} \right)i \\
\end{aligned} \right..$
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.