Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thoả mãn $\left| z+1-3i \right|=\left| z-1-i \right|$ và $\dfrac{z-3}{z+2}$ là một số thuần ảo?
A. $1$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $3$.
Đặt $z=x+yi \left( x ,y\in \mathbb{R} \right)$. Gọi $M\left( x ; y \right)$ là điểm biểu diễn của $z$.
$\left| z+1-3i \right|=\left| z-1-i \right|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow x-y+2=0 \left( \Delta \right)$.
$\dfrac{z-3}{z+2}=\dfrac{x+yi-3}{x+yi+2}=\dfrac{\left( x-3+yi \right).\left( x+2-yi \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-6}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\dfrac{5y}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}.i$.
$\dfrac{z-3}{z+2}$ là một số thuần ảo$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z\ne -2 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-6}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z\ne -2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-6=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( \dfrac{1}{2} ; 0 \right)$, bán kính $R=\dfrac{5}{2}$ và $M\ne D$.
$d\left( I,\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{5}{2\sqrt{2}}<R$ nên $\left( \Delta \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm $D$.
Vậy có một số phức $z$ thỏa yêu cầu bài toán.
$\left| z+1-3i \right|=\left| z-1-i \right|$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$ $\Leftrightarrow x-y+2=0 \left( \Delta \right)$.
$\dfrac{z-3}{z+2}=\dfrac{x+yi-3}{x+yi+2}=\dfrac{\left( x-3+yi \right).\left( x+2-yi \right)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-6}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\dfrac{5y}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}.i$.
$\dfrac{z-3}{z+2}$ là một số thuần ảo$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z\ne -2 \\
& \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-6}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z\ne -2 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-6=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( \dfrac{1}{2} ; 0 \right)$, bán kính $R=\dfrac{5}{2}$ và $M\ne D$.
$d\left( I,\left( \Delta \right) \right)=\dfrac{5}{2\sqrt{2}}<R$ nên $\left( \Delta \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm $D$.
Vậy có một số phức $z$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.