Có bao nhiêu số phức $z$ thoả mãn $\left| z+1-3i \right|=\left|...

Đặt $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$. Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của $z$.
$|z+1-3i|=|z-1-i|$ $\iff \sqrt{{(x+1)}^2+{(y-3)}^2}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}$ $\iff x-y+2=0\left(\mathrm{\Delta }\right)$.
${\displaystyle \frac{z-3}{z+2}}={\displaystyle \frac{x+yi-3}{x+yi+2}}={\displaystyle \frac{(x-3+yi).(x+2-yi)}{{(x+2)}^2+y^2}}$ $={\displaystyle \frac{x^2+y^2-x-6}{{(x+2)}^2+y^2}}+{\displaystyle \frac{5y}{{(x+2)}^2+y^2}}.i$.
${\displaystyle \frac{z-3}{z+2}}$ là một số thuần ảo$\iff \{\begin{array}{rl}& z\ne -2\\ & {\displaystyle \frac{x^2+y^2-x-6}{{(x+2)}^2+y^2}}=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{rl}& z\ne -2\\ & x^2+y^2-x-6=0\end{array}$
$\Rightarrow$ $M$ thuộc đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I({\displaystyle \frac{1}{2}};0)$, bán kính $R={\displaystyle \frac{5}{2}}$ và $M\ne D$.
$d(I,\left(\mathrm{\Delta }\right))={\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{2}}}<R$ nên $\left(\mathrm{\Delta }\right)$ cắt $\left(C\right)$ tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm $D$.
Vậy có một số phức $z$ thỏa yêu cầu bài toán.