Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}$...

Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có ${{\left( z+2i \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{\left( b+2 \right)}^{2}}+2a\left( b+2 \right)i$.
Do ${{\left( z+2i \right)}^{2}}$ là số thuần ảo nên ${{a}^{2}}-{{\left( b+2 \right)}^{2}}=0$ (1).
Lại có $\left| z+1-3i \right|=3\sqrt{2}\Rightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=18$ (2).
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được: $2a+1+2{{b}^{2}}-2b-5=0\Rightarrow a=-{{b}^{2}}+b+2$.
Thay vào (1) ta được ${{\left( -{{b}^{2}}+b+2 \right)}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{b}^{2}}+b+2=b+2 \\
& -{{b}^{2}}+b+2=-b-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& b=1\pm \sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Có 3 số phức z thỏa.