Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|$ và $\dfrac{z-2i}{\overline{z+i}}$ là một số thuần ảo?
A. 0
B. Vô số
C. 1
D. 2.
A. 0
B. Vô số
C. 1
D. 2.
Giả sử $z=x+yi, (x,y\in \mathbb{R})$.
Theo bài ra ta có: $\left| x+1+(y-2)i \right|=\left| x+3+(4-y)i \right|$
$\Rightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}={{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}\Leftrightarrow y=x+5$ hay ta có $z=x+\left( x+5 \right)i$.
Số phức $w=\dfrac{z-2i}{\overline{z+i}}=\dfrac{x+(x+3)i}{x-(x+6)i}=\dfrac{{{x}^{2}}-(x+3)(x+6)+x(2x+9)i}{{{x}^{2}}+{{(x+6)}^{2}}}$ là số thuần ảo nên
${{x}^{2}}-\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)=0\Leftrightarrow -9x-18=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow z=-2+3i$.
Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Theo bài ra ta có: $\left| x+1+(y-2)i \right|=\left| x+3+(4-y)i \right|$
$\Rightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}={{(x+3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}\Leftrightarrow y=x+5$ hay ta có $z=x+\left( x+5 \right)i$.
Số phức $w=\dfrac{z-2i}{\overline{z+i}}=\dfrac{x+(x+3)i}{x-(x+6)i}=\dfrac{{{x}^{2}}-(x+3)(x+6)+x(2x+9)i}{{{x}^{2}}+{{(x+6)}^{2}}}$ là số thuần ảo nên
${{x}^{2}}-\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)=0\Leftrightarrow -9x-18=0\Rightarrow x=-2\Rightarrow z=-2+3i$.
Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.