Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn $\left| z+1-2i \right|=\left|...

The Professor · 31/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

| z + 1 - 2 i | = | \overset{―}{z} + 3 + 4 i |

và

\frac{z - 2 i}{\overset{―}{z + i}}

là một số thuần ảo?
A. 0
B. Vô số
C. 1
D. 2.

Giả sử

z = x + y i, (x, y \in R)

.
Theo bài ra ta có:

| x + 1 + (y - 2) i | = | x + 3 + (4 - y) i |

\Rightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} \Leftrightarrow y = x + 5

hay ta có

z = x + (x + 5) i

.
Số phức

w = \frac{z - 2 i}{\overset{―}{z + i}} = \frac{x + (x + 3) i}{x - (x + 6) i} = \frac{x^{2} - (x + 3) (x + 6) + x (2 x + 9) i}{x^{2} + {(x + 6)}^{2}}

là số thuần ảo nên

x^{2} - (x + 3) (x + 6) = 0 \Leftrightarrow - 9 x - 18 = 0 \Rightarrow x = - 2 \Rightarrow z = - 2 + 3 i

.
Vậy có 1 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án C.