Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z-1+2i \right|=3$ và số phức $\left( 1+2i \right)z$ là số thuần ảo?
A. $0$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.
Đặt $z=a+bi$, với $a, b\in \mathbb{R}$
Ta có: $\left| z-1+2i \right|=3\Leftrightarrow \left| a+bi-1+2i \right|=3\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a+4b-4=0 (1)$.
Số phức $\left( 1+2i \right)z=\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)=a-2b+\left( 2a+b \right)i$ là số thuần ảo suy ra $a-2b=0\Leftrightarrow a=2b (2)$.
Thế (2) và (1), ta được: ${{\left( 2b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-2.\left( 2b \right)+4b-4=0\Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\
& b=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Với $b=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow a=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$, được số phức ${{z}_{1}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}i$.
Với $b=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$, được số phức ${{z}_{2}}=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}i$. Vậy có $2$ số phức cần tìm.
A. $0$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $3$.
Đặt $z=a+bi$, với $a, b\in \mathbb{R}$
Ta có: $\left| z-1+2i \right|=3\Leftrightarrow \left| a+bi-1+2i \right|=3\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2a+4b-4=0 (1)$.
Số phức $\left( 1+2i \right)z=\left( 1+2i \right)\left( a+bi \right)=a-2b+\left( 2a+b \right)i$ là số thuần ảo suy ra $a-2b=0\Leftrightarrow a=2b (2)$.
Thế (2) và (1), ta được: ${{\left( 2b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-2.\left( 2b \right)+4b-4=0\Leftrightarrow 5{{b}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\
& b=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5} \\
\end{aligned} \right.$
Với $b=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow a=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$, được số phức ${{z}_{1}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}+\dfrac{2\sqrt{5}}{5}i$.
Với $b=-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow a=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$, được số phức ${{z}_{2}}=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}i$. Vậy có $2$ số phức cần tìm.
Đáp án B.