Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)z+\overline{z}$ là số thuần ảo và $\left| z-2i \right|=1$ ?
A. $2$.
B. $1$.
C. $0$.
D. Vô số.
A. $2$.
B. $1$.
C. $0$.
D. Vô số.
Đặt $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$ ta có : $\left( 1+i \right)z+\overline{z}=\left( 1+i \right)\left( a+bi \right)+a-bi$ $=2a-b+ai$.
Mà $\left( 1+i \right)z+\overline{z}$ là số thuần ảo nên $2a-b=0$ $\Leftrightarrow b=2a$.
Mặt khác $\left| z-2i \right|=1$ nên ${{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-8a+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1\Rightarrow b=2 \\
& a=\dfrac{3}{5}\Rightarrow b=\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $2$ số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Mà $\left( 1+i \right)z+\overline{z}$ là số thuần ảo nên $2a-b=0$ $\Leftrightarrow b=2a$.
Mặt khác $\left| z-2i \right|=1$ nên ${{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}=1$
$\Leftrightarrow 5{{a}^{2}}-8a+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1\Rightarrow b=2 \\
& a=\dfrac{3}{5}\Rightarrow b=\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có $2$ số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.