Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left( 1+i \right)z+\bar{z}$ là số thuần ảo và $\left| z-2i \right|=1$ ?
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 4.
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 4.
Giả sử $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$
Ta có $\left| z-2i \right|=1\Leftrightarrow \left| a+\left( b-2 \right)i \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1.$
Lại có $\left( 1+i \right)z+\overline{z}=\left( 1+i \right)\left( a+bi \right)+a-bi=2\text{a}-b+ai$ là số thuần ảo.
Nên $2a-b=0\Rightarrow b=2a\Rightarrow {{a}^{2}}+{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=\dfrac{3}{5} \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $a=1\Rightarrow b=2\Rightarrow z=1+2i$.
+ Với $a=\dfrac{3}{5}\Rightarrow b=\dfrac{6}{5}\Rightarrow z=\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i$.
Ta có $\left| z-2i \right|=1\Leftrightarrow \left| a+\left( b-2 \right)i \right|=1\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}}=1\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}=1.$
Lại có $\left( 1+i \right)z+\overline{z}=\left( 1+i \right)\left( a+bi \right)+a-bi=2\text{a}-b+ai$ là số thuần ảo.
Nên $2a-b=0\Rightarrow b=2a\Rightarrow {{a}^{2}}+{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1 \\
& a=\dfrac{3}{5} \\
\end{aligned} \right.$
+ Với $a=1\Rightarrow b=2\Rightarrow z=1+2i$.
+ Với $a=\dfrac{3}{5}\Rightarrow b=\dfrac{6}{5}\Rightarrow z=\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i$.
Đáp án A.