Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời $\left| z+1-2i \right|=2\sqrt{2}$ và $\dfrac{z-5-2i}{z-1}$ là số thuần ảo?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đặt $z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ với $\left( x;y \right)\ne \left( 1;0 \right)$. Khi đó:
+) $\left| z+1-2i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8$.
+) $\dfrac{z-5-2i}{z-1}$ là số thuần ảo nên $\operatorname{Re}\left( \dfrac{z-5-2i}{z-1} \right)=0\Leftrightarrow \operatorname{Re}\left( \dfrac{\left( x-5 \right)+\left( y-2 \right)i}{\left( x-1 \right)+yi} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( x-1 \right)+\left( y-2 \right)y=0\Leftrightarrow \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$.
Dễ thấy hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$, $\left( {{C}_{2}} \right)$ có hai điểm chung và trong đó có điểm $A\left( 1;0 \right)$ nên chỉ có 1 số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.
+) $\left| z+1-2i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left( {{C}_{1}} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8$.
+) $\dfrac{z-5-2i}{z-1}$ là số thuần ảo nên $\operatorname{Re}\left( \dfrac{z-5-2i}{z-1} \right)=0\Leftrightarrow \operatorname{Re}\left( \dfrac{\left( x-5 \right)+\left( y-2 \right)i}{\left( x-1 \right)+yi} \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( x-5 \right)\left( x-1 \right)+\left( y-2 \right)y=0\Leftrightarrow \left( {{C}_{2}} \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=5$.
Dễ thấy hai đường tròn $\left( {{C}_{1}} \right)$, $\left( {{C}_{2}} \right)$ có hai điểm chung và trong đó có điểm $A\left( 1;0 \right)$ nên chỉ có 1 số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.