Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: $\left| z-10+2i \right|=\left| z+2-14i \right|$ và $\left| z-1-10i \right|=5$ ?
A. 2
B. 0
C. 1
D. Vô số
A. 2
B. 0
C. 1
D. Vô số
Giả sử $z=x+yi (x,y\in \mathbb{R})$ có điểm biểu diễn là $M(x;y)$.
Ta có $\left| z-10+2i \right|=\left| z+2-14i \right|\Leftrightarrow {{(x-10)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}={{(x+2)}^{2}}+{{(y-14)}^{2}}\Leftrightarrow 3\text{x}-4y+12=0$.
Vậy tập hợp các điểm $M(x;y)$ thỏa mãn $\left| z-10+2i \right|=\left| z+2-14i \right|$ là đường thẳng $\Delta :3\text{x}-4y+12=0$.
Mặt khác ta có tập hợp các điểm $M(x;y)$ thỏa $\left| z-1-10i \right|=5$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;10)$, có bán kính $R=5$.
Ta có $d(I,\Delta )=\dfrac{\left| 3.1-4.10+12 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=5$. Suy ra Δ và $(C)$ tiếp xúc nhau.
Mà $M=\Delta \cap (C)$. Do đó chỉ có duy nhất một điểm $M(x;y)$ tức là chỉ có duy nhất một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ta có $\left| z-10+2i \right|=\left| z+2-14i \right|\Leftrightarrow {{(x-10)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}={{(x+2)}^{2}}+{{(y-14)}^{2}}\Leftrightarrow 3\text{x}-4y+12=0$.
Vậy tập hợp các điểm $M(x;y)$ thỏa mãn $\left| z-10+2i \right|=\left| z+2-14i \right|$ là đường thẳng $\Delta :3\text{x}-4y+12=0$.
Mặt khác ta có tập hợp các điểm $M(x;y)$ thỏa $\left| z-1-10i \right|=5$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;10)$, có bán kính $R=5$.
Ta có $d(I,\Delta )=\dfrac{\left| 3.1-4.10+12 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=5$. Suy ra Δ và $(C)$ tiếp xúc nhau.
Mà $M=\Delta \cap (C)$. Do đó chỉ có duy nhất một điểm $M(x;y)$ tức là chỉ có duy nhất một số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.