Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện ${{z}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}+\overline{z}$ ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Đặt $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.
${{z}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}+\overline{z}\Leftrightarrow {{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a-bi\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a-bi$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a(1) \\
& 2ab=-b(2) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (1) ta được $a=-2{{b}^{2}}$. Thay vào (2) ta được $-4{{b}^{3}}=-b\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& b=\pm \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Với $b=0$ thì $a=0$ ; Với $b=\pm \dfrac{1}{2}$ thì $a=\dfrac{-1}{2}$.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
${{z}^{2}}={{\left| z \right|}^{2}}+\overline{z}\Leftrightarrow {{\left( a+bi \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a-bi\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a-bi$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+a(1) \\
& 2ab=-b(2) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (1) ta được $a=-2{{b}^{2}}$. Thay vào (2) ta được $-4{{b}^{3}}=-b\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& b=\pm \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
Với $b=0$ thì $a=0$ ; Với $b=\pm \dfrac{1}{2}$ thì $a=\dfrac{-1}{2}$.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.