Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \bar{z}+1-2i...

The Professor · 21/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức

z

thỏa mãn điều kiện

| \bar{z} + 1 - 2 i | = | z + 3 + 4 i |

và

\frac{\bar{z} - 2 i}{z + i}

là số thuần ảo?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.

Gọi

z = x + y i

,

(x, y \in R)

. Theo giả thiết ta có

| \bar{z} + 1 - 2 i | = | z + 3 + 4 i |

\Leftrightarrow | x - y i + 1 - 2 i | = | x + y i + 3 + 4 i |

\Leftrightarrow | (x + 1) - (y + 2) i | = | (x + 3) + (y + 4) i |

(1)

.

\frac{\bar{z} - 2 i}{z + i}

= \frac{x - y i - 2 i}{x + y i + i}

= \frac{x^{2} - (y + 1) (y + 2)}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} - \frac{2 x y + 3 x}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} i

= \frac{x^{2} - y^{2} - 3 y - 2}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} - \frac{2 x y + 3 x}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} i

Từ

(1)

và

(2)

ta có hệ phương trình

{\begin{aligned} {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = {(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} \\ x^{2} - (y + 1) (y + 2) = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 4 x + 4 y = - 20 \\ x^{2} - y^{2} - 3 y - 2 = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x = - 5 - y \\ {(- 5 - y)}^{2} - y^{2} - 3 y - 2 = 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x = - \frac{12}{7} \\ y = - \frac{23}{7} \end{aligned}

.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên có 1 số phức

z

thỏa mãn bài toán.

Đáp án B.

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện $\left| \bar{z}+1-2i...