Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| \bar{z}+1-2i...

Gọi $z=x+yi$, $\left( x , y\in \mathbb{R} \right)$. Theo giả thiết ta có
$\left| \bar{z}+1-2i \right|=\left| z+3+4i \right|$ $\Leftrightarrow \left| x-yi+1-2i \right|=\left| x+yi+3+4i \right|$ $\Leftrightarrow \left| \left( x+1 \right)-\left( y+2 \right)i \right|=\left| \left( x+3 \right)+\left( y+4 \right)i \right|$ $\left( 1 \right)$.
$\dfrac{\bar{z}-2i}{z+i}$ $=\dfrac{x-yi-2i}{x+yi+i}$ $=\dfrac{{{x}^{2}}-\left( y+1 \right)\left( y+2 \right)}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2xy+3x}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}i$ $=\dfrac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-3y-2}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2xy+3x}{{{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}}i$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}} \\
& {{x}^{2}}-\left( y+1 \right)\left( y+2 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4x+4y=-20 \\
& {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-3y-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-5-y \\
& {{\left( -5-y \right)}^{2}}-{{y}^{2}}-3y-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=-\dfrac{12}{7} \\
& y=-\dfrac{23}{7} \\
\end{aligned} \right.$.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên có 1 số phức $z$ thỏa mãn bài toán.