Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\dfrac{{{z}^{2}}}{z-2i}=\left| {{z}^{2}} \right|?$

Phương pháp:
- Sử dụng: $\left| {{z}^{2}} \right|={{\left| z \right|}^{2}}=z.\overline{z}.$
- Đưa phương trình về dạng tích.
- Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi,$ thế vào phương trình và sử dụng điều kiện hai số phức bằng nhau.
- Giải hệ phương trình đại số bằng phương pháp thế.
Cách giải:
ĐK: $z\ne 2i.$
Ta có:
$\dfrac{{{z}^{2}}}{z-2i}=\left| {{z}^{2}} \right|\Leftrightarrow \dfrac{{{z}^{2}}}{z-2i}={{\left| z \right|}^{2}}=z.\overline{z}$
$\Leftrightarrow z\left( \dfrac{z}{z-2i}-\overline{z} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=0\left( tm \right) \\
& \dfrac{z}{z-2i}-\overline{z}=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $z=x+yi\Rightarrow \overline{z}=x-yi,$ thay vào (*) ta có
$x+yi=\left( x-yi \right)\left( x+yi-2i \right)$
$\Leftrightarrow x+yi={{x}^{2}}+xyi-2xi-xyi+{{y}^{2}}-2y$
$\Leftrightarrow x+yi={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y-2xi$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=x \\
& y=-2x \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+4{{x}^{2}}+4x=x \\
& y=-2x \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5{{x}^{2}}+3x=0 \\
& y=-2x \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0;y=0 \\
& x=-\dfrac{3}{5};y=\dfrac{6}{5} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=0 \\
& z=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{3}i \\
\end{aligned} \right.$
Vậy có 2 số phức $z$ thỏa mãn.