Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\left| z+i \right|=2$ và ${{\left( z-2 \right)}^{4}}$ là số thực?
A. $4$.
B. $5$.
C. $7$.
D. $6$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $7$.
D. $6$.
Đặt $w=z-2$, ta có: ${{w}^{4}}$ là số thực và $\left| w+2+i \right|=2$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ thỏa ${{w}^{4}}$ là số thực là các đường thẳng ${{d}_{1}}:y=0$, ${{d}_{2}}:x=0$, ${{d}_{3}}:x-y=0$, ${{d}_{4}}:x+y=0$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ thỏa $\left| w+2+i \right|=2$ là đường tròn tâm $I\left( -2;-1 \right)$, bán kính $R=2$.
Ta có: $d\left( I;{{d}_{1}} \right)=1<R$, $d\left( I,{{d}_{2}} \right)=2=R$, $d\left( I,{{d}_{3}} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}<R$, $d\left( I,{{d}_{4}} \right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}>R$.
Các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}},{{d}_{3}},{{d}_{4}}$ đồng quy tại $O$, không thuộc đường tròn.
Suy ra có $5$ số $w$ thỏa yêu cầu bài toán.
Kết luận: Có $5$ số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ thỏa ${{w}^{4}}$ là số thực là các đường thẳng ${{d}_{1}}:y=0$, ${{d}_{2}}:x=0$, ${{d}_{3}}:x-y=0$, ${{d}_{4}}:x+y=0$.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ thỏa $\left| w+2+i \right|=2$ là đường tròn tâm $I\left( -2;-1 \right)$, bán kính $R=2$.
Ta có: $d\left( I;{{d}_{1}} \right)=1<R$, $d\left( I,{{d}_{2}} \right)=2=R$, $d\left( I,{{d}_{3}} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}<R$, $d\left( I,{{d}_{4}} \right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}>R$.
Các đường thẳng ${{d}_{1}}, {{d}_{2}},{{d}_{3}},{{d}_{4}}$ đồng quy tại $O$, không thuộc đường tròn.
Suy ra có $5$ số $w$ thỏa yêu cầu bài toán.
Kết luận: Có $5$ số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án D.