Có bao nhiêu số phức $z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $\left| z+i...

Giả sử số phức $z=a+bi$, $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| z+i \right|=2\Leftrightarrow \left| a+\left( b+1 \right)i \right|=2\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4$ $\left( 1 \right)$
${{\left( z-2 \right)}^{4}}={{\left[ \left( a-2 \right)+bi \right]}^{4}}={{\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}+2b\left( a-2 \right)i \right]}^{2}}$
$={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b{{\left( a-2 \right)}^{3}}i-4{{b}^{3}}\left( a-2 \right)i$
$={{\left( a-2 \right)}^{4}}+{{b}^{4}}-4{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}-2{{b}^{2}}{{\left( a-2 \right)}^{2}}+4b\left( a-2 \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}} \right]i$
Vì ${{\left( z-2 \right)}^{4}}$ là một số thực nên $4b\left( a-2 \right)\left[ {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{b}^{2}} \right]=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& a=2 \\
& a-2=b \\
& a-2=-b \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=0 \\
& a=2 \\
& a=b+2 \\
& a=2-b \\
\end{aligned} \right.$
+) $b=0$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta có ${{a}^{2}}+1=4\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=\sqrt{3} \\
& a=-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right. $. Có $ 2 $ số phức $ \left[ \begin{aligned}
& z=\sqrt{3} \\
& z=-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
+) $a=2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta có ${{2}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow b=-1$. Có $1$ số phức $z=2-i$
+) $a=b+2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta có ${{\left( b+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow 2{{b}^{2}}+6b+1=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{-3-\sqrt{7}}{2} \\
& b=\dfrac{-3+\sqrt{7}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Có $2$ số phức thỏa mãn
+) $a=-b+2$ thay vào $\left( 1 \right)$ ta có ${{\left( -b+2 \right)}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}=4\Rightarrow 2{{b}^{2}}-2b+1=0$ (Vô nghiệm )
Vậy có $5$ số phức thỏa mãn.