Có bao nhiêu số phức $z$ có phần thực và phần ảo đều là các số...

Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$, $A(0;-1),B(0;3),C(0;-4),D(0;6)$.
Ta có $|z+i|+|z-3i|=|z+4i|+|z-6i|\iff MA+MB=MC+MD$.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có $MC+MD\ge CD=10$.
Do đó $MA+MB=MC+MD=2a_0(a_0\ge 5).$
Vi vậy $M$ thuộc hai elip $\left(E_1\right),\left(E_2\right)$ có cùng độ lớn là $2a_0$ và tâm của hai elip này trùng nhau tại $I(0;1)$ là trung điểm của $AB,CD$. Do đó $M=\left(E_1\right)\cap \left(E_2\right)\Rightarrow [\begin{array}{c}{M}_1(0;1+a_0)\\ M_2(0;1-a_0)\end{array}$
Trường hợp 1: $M(0;1+a_0)\Rightarrow \left|z\right|\le 10\iff |1+a_0|\le 10\iff 5\le a_0\le 9$ trường hợp này có 5 số phức thỏa mãn.
Trường hợp 2: $M(0;1-a_0)\Rightarrow \left|z\right|\le 10\iff |1-a_0|\le 10\iff 5\le a_0\le 12$ trường hợp này có 12 số phức thỏa mãn.
Vậy có tổng 12 số phức thỏa mãn.