Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ có phần thực và phần ảo đều là các số nguyên thỏa mãn $\left| z+i \right|+\left| z-3i \right|=\left| z+4i \right|+\left| z-6i \right|$ và $\left| z \right|\le 10$ ?
A. $12$.
B. $2$.
C. $10$.
D. $5$.
A. $12$.
B. $2$.
C. $10$.
D. $5$.
Gọi $M$ là điểm biểu diễn số phức $z$, $A\left( 0;-1 \right), B\left( 0;3 \right), C(0;-4), D\left( 0;6 \right)$.
Ta có $\left| z+i \right|+\left| z-3i \right|=\left| z+4i \right|+\left| z-6i \right|\Leftrightarrow MA+MB=MC+MD$.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có $MC+MD\ge CD=10$.
Do đó $MA+MB=MC+MD=2{{a}_{0}} ({{a}_{0}}\ge 5).$
Vi vậy $M$ thuộc hai elip $\left( {{E}_{1}} \right), \left( {{E}_{2}} \right)$ có cùng độ lớn là $2{{a}_{0}}$ và tâm của hai elip này trùng nhau tại $I\left( 0;1 \right)$ là trung điểm của $AB, CD$. Do đó $M=\left( {{E}_{1}} \right)\cap \left( {{E}_{2}} \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
{{M}_{1}}\left( 0;1+{{a}_{0}} \right) \\
{{M}_{2}}\left( 0;1-{{a}_{0}} \right) \\
\end{matrix} \right.$
Trường hợp 1: $M\left( 0;1+{{a}_{0}} \right)\Rightarrow \left| z \right|\le 10\Leftrightarrow \left| 1+{{a}_{0}} \right|\le 10\Leftrightarrow 5\le {{a}_{0}}\le 9$ trường hợp này có 5 số phức thỏa mãn.
Trường hợp 2: $M\left( 0;1-{{a}_{0}} \right)\Rightarrow \left| z \right|\le 10\Leftrightarrow \left| 1-{{a}_{0}} \right|\le 10\Leftrightarrow 5\le {{a}_{0}}\le 12$ trường hợp này có 12 số phức thỏa mãn.
Vậy có tổng 12 số phức thỏa mãn.
Ta có $\left| z+i \right|+\left| z-3i \right|=\left| z+4i \right|+\left| z-6i \right|\Leftrightarrow MA+MB=MC+MD$.
Theo bất đẳng thức tam giác ta có $MC+MD\ge CD=10$.
Do đó $MA+MB=MC+MD=2{{a}_{0}} ({{a}_{0}}\ge 5).$
Vi vậy $M$ thuộc hai elip $\left( {{E}_{1}} \right), \left( {{E}_{2}} \right)$ có cùng độ lớn là $2{{a}_{0}}$ và tâm của hai elip này trùng nhau tại $I\left( 0;1 \right)$ là trung điểm của $AB, CD$. Do đó $M=\left( {{E}_{1}} \right)\cap \left( {{E}_{2}} \right)\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
{{M}_{1}}\left( 0;1+{{a}_{0}} \right) \\
{{M}_{2}}\left( 0;1-{{a}_{0}} \right) \\
\end{matrix} \right.$
Trường hợp 2: $M\left( 0;1-{{a}_{0}} \right)\Rightarrow \left| z \right|\le 10\Leftrightarrow \left| 1-{{a}_{0}} \right|\le 10\Leftrightarrow 5\le {{a}_{0}}\le 12$ trường hợp này có 12 số phức thỏa mãn.
Vậy có tổng 12 số phức thỏa mãn.
Đáp án A.