Có bao nhiêu số phức thỏa mãn ${{z}^{2}}-2018z=2019\left|...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn

z^{2} - 2018 z = 2019 | z^{2} |

?
A. Vô số.
B. 2.
C. 1.
D. 0.

Gọi số phức

z = x + y i (x; y \in R)

thì môđun

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

.
Ta có:

\begin{aligned} z^{2} - 2018 z = 2019 {| z |}^{2} \Leftrightarrow {(x + y i)}^{2} - 2018 (x + y i) = 2019 {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 x y i - y^{2} - 2018 x - 2018 y i = 2019 x^{2} + 2019 y^{2} \\ \Leftrightarrow 2018 x^{2} + 2020 y^{2} + 2018 x - (2 x y - 2018 y) i = 0 \\ \Leftrightarrow {\begin{aligned} 2 x y - 2018 y = 0 \\ 2018 x^{2} + 2020 y^{2} + 2018 x = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} y = 0 \\ x = 1009 \end{aligned} \\ 2018 x^{2} + 2020 y^{2} + 2018 x = 0 \end{aligned} \end{aligned}

Với

y = 0 \Rightarrow 2018 x^{2} + 2018 x = 0 \Leftrightarrow 2018 x (x + 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x = - 1 \end{aligned}

.
Suy ra

z = 0; z = - 1

.
Với

x = 1009 \Rightarrow {2018.1009}^{2} + 2020 y^{2} + 2018.1009 = 0

\Leftrightarrow 2020 y^{2} = - 2018.1009 - {2018.1009}^{2}

(vô nghiệm vì VT không âm và VP âm).
Vậy có 2 số phức thỏa mãn đề bài.

Đáp án B.