Có bao nhiêu số phức thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned} & \left|...

Giả sử $z=a+bi \left( a, b\in \mathbb{R} \right)$.
Ta có $\left| z-1 \right|=1\Leftrightarrow \left| a+bi-1 \right|=1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=1$ (*)
Ta có $\left| z+\overline{z}-2 \right|+\left| z+\overline{z}-2i \right|=4\Leftrightarrow \left| a+bi+a-bi-2 \right|+\left| a+bi+a-bi-2i \right|=4$
$\Leftrightarrow \left| a-1 \right|+\left| a-i \right|=2\Leftrightarrow \left| a-1 \right|+\sqrt{{{a}^{2}}+1}=2\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+1}=2-\left| a-1 \right|$ (1)
TH1: $a\ge 1$. Phương trình (1) $\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+1}=3-a\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\le 3 \\
& {{a}^{2}}+1=9-6a+{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=\dfrac{4}{3} \left( TM \right)$.
Thay $a=\dfrac{4}{3}$ vào (*) có ${{b}^{2}}=\dfrac{8}{9}\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\
& b=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2\sqrt{2}}{3}i \\
& z=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}i \\
\end{aligned} \right.$.
TH2: $a<1$. Phương trình (1) $\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+1}=a+1\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ge -1 \\
& {{a}^{2}}+1={{a}^{2}}+2a+1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow a=0 \left( TM \right)$.
Thay $a=0$ vào (*) có $b=0$.