Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho ứng với số nguyên $y$ có tối đa $100$ số nguyên $x$ thỏa mãn ${{3}^{y-2x}}\ge {{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)$.
A. $17$
B. $18$.
C. $13$.
D. $20$.
A. $17$
B. $18$.
C. $13$.
D. $20$.
Điều kiện: $x>-{{y}^{2}}$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{y-2x}}-{{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)$ ta có:
${f}'\left( x \right)=-{{2.3}^{y-2x}}.\ln 3-\dfrac{1}{\left( x+{{y}^{2}} \right).\ln 5}<0$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên ta có tập nghiệm của bất phương trình là $\left( -{{y}^{2}}; {{x}_{0}} \right]$. Để có tối đa $100$ số nguyên $x$ thì $f\left( -{{y}^{2}}+101 \right)<0$ $\Leftrightarrow {{3}^{2{{y}^{2}}+y-202}}-{{\log }_{5}}101<0\Leftrightarrow {{3}^{2{{y}^{2}}+y-202}}<{{\log }_{5}}101$
$\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+y-202-{{\log }_{3}}\left( {{\log }_{5}}101 \right)<0\Leftrightarrow -10,33<y<9,83$.
Vậy có $20$ giá trị nguyên của $y$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{y-2x}}-{{\log }_{5}}\left( x+{{y}^{2}} \right)$ ta có:
${f}'\left( x \right)=-{{2.3}^{y-2x}}.\ln 3-\dfrac{1}{\left( x+{{y}^{2}} \right).\ln 5}<0$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên trên ta có tập nghiệm của bất phương trình là $\left( -{{y}^{2}}; {{x}_{0}} \right]$. Để có tối đa $100$ số nguyên $x$ thì $f\left( -{{y}^{2}}+101 \right)<0$ $\Leftrightarrow {{3}^{2{{y}^{2}}+y-202}}-{{\log }_{5}}101<0\Leftrightarrow {{3}^{2{{y}^{2}}+y-202}}<{{\log }_{5}}101$
$\Leftrightarrow 2{{y}^{2}}+y-202-{{\log }_{3}}\left( {{\log }_{5}}101 \right)<0\Leftrightarrow -10,33<y<9,83$.
Vậy có $20$ giá trị nguyên của $y$.
Đáp án D.