Có bao nhiêu số nguyên ${y}$ sao cho tồn tại ${x...

${
\text { Ta có: } 27^{3 x^2+x y}=(1+x y) \cdot 27^{18 x} \Leftrightarrow 27^{3 x^2+x y-18 x}=1+x y \Leftrightarrow 27^{3 x^2+x y-18 x}-1-x y=0 \text { . }
}$
${
\text { M?t khác: } 27^{3 x^2+x y-18 x}-1-x y=(1+26)^{3 x^2+x y-18 x}-1-x y \geq 1+26\left(3 x^2+x y-18 x\right)-1-x y
}$
${
=78 x^2+25 x y-468 x \text { . }
}$
${
+\text { V?i } y \geq 19 \Rightarrow 27^{3 x^2+x y-18 x}-1-x y \geq 78 x^2+25 x y-468 x \geq 84 x^2+7 x>0 \forall x \in\left(\dfrac{1}{3} ; 6\right) \text { (lo?i). }
}$
${
\text { + V?i } y \leq-3 \Rightarrow 27^{3 x^2+x y-18 x}=1+x y \leq 1-3 x<0 \forall x \in\left(\dfrac{1}{3} ; 6\right) \text { (lo?i). }
}$
${
+\text { V?i } y=-2 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2} \text { (th?a măn). }
}$
+ Với ${y=-1 \Rightarrow x=1}$ (thỏa mãn).
${
+\text { V?i } y=0 \Rightarrow 27^{3 x^2-18 x}=1 \Leftrightarrow 3 x^2-18 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x=6
\end{array}\right. \text { (lo?i). }
}$
${
\text { + V?i } y \geq 1 \text { : Đ?t } f(x)=27^{3 x^2+x y-18 x}-1-x y \text { . }
}$
Do ${f\left(\dfrac{1}{3}\right)=3^{y-17}-1-\dfrac{y}{3}<0 \forall y \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 18\}}$ và ${f(6)=27^{6 y}-6 y-1>0 \forall y \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 18\}}$ nên
phương trình ${f(x)=0}$ luôn có nghiệm thuộc ${\left(\dfrac{1}{3} ; 6\right)}$.
Tóm lại ${y \in\{-2 ;-1 ; 1 ; 2 ; \ldots . ; 18\}}$.
Vậy có 20 số nguyên ${y}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. g NHÓM WORD \& BIÊN SOAN TÀI LIỆU TOÁN