Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại $x\in \left( \dfrac{1}{4};4 \right)$ thỏa mãn ${{64}^{4{{x}^{2}}+xy}}=\left( 1+xy \right){{64}^{16x}}$ ?
A. 19.
B. 9.
C. 11.
D. 12.
A. 19.
B. 9.
C. 11.
D. 12.
+) Khi $y\le 0$, vì $xy>-1$ và $x>\dfrac{1}{4}$ nên ta có $y>-4$.
Với $y=0$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-16x}}-1=0$ vô nghiệm vì ${{64}^{4{{x}^{2}}-16x}}-1={{64}^{0}}-1=0$, $\forall x\in \left( \dfrac{1}{4};4 \right)$
Với $y=-1$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-17x}}-\left( 1-x \right)=0$ có nghiệm vì ${{g}_{1}}\left( x \right)={{64}^{4{{x}^{2}}-17x}}-\left( 1-x \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$ và ${{g}_{1}}\left( \dfrac{1}{4} \right).{{g}_{1}}\left( 4 \right)<0$.
Với $y=-2$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-18x}}-\left( 1-2x \right)=0$ có nghiệm vì ${{g}_{2}}\left( x \right)={{64}^{4{{x}^{2}}-18x}}-\left( 1-2x \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$ và ${{g}_{2}}\left( \dfrac{1}{4} \right).{{g}_{2}}\left( 4 \right)<0$.
Với $y=-3$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-19x}}-\left( 1-3x \right)=0$ có nghiệm vì ${{g}_{3}}\left( x \right)={{64}^{4{{x}^{2}}-19x}}-\left( 1-3x \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$ và ${{g}_{3}}\left( \dfrac{1}{4} \right).{{g}_{3}}\left( 4 \right)<0$.
+) Khi $y\ge 1$, xét trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$, ta có
${{64}^{4{{x}^{2}}+xy}}=\left( 1+xy \right){{64}^{16x}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-16x={{\log }_{64}}\left( 1+xy \right)\Leftrightarrow 4x-16-\dfrac{{{\log }_{64}}\left( 1+xy \right)}{x}+y=0$
Xét hàm số $y=4x-16-\dfrac{{{\log }_{64}}\left( 1+xy \right)}{x}+y$ trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=4+\dfrac{\ln \left( 1+xy \right)}{{{x}^{2}}\ln 64}-\dfrac{y}{x\left( 1+xy \right)\ln 64}>4-\dfrac{1}{4{{x}^{2}}\ln 4}\ge 4-\dfrac{4}{\ln 4}>0$, $\forall x\in \left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$.
Do đó, hàm $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$.
Vì thế phương trình $g\left( x \right)=0$ có nghiệm trên $\left( \dfrac{1}{4};4 \right)$ khi và chỉ khi $g\left( \dfrac{1}{4} \right)g\left( 4 \right)<0$.
Áp dụng bất đẳng thức $\ln \left( 1+u \right)<u$ với mọi $u>0$,
ta có $g\left( 4 \right)=-\dfrac{{{\log }_{64}}\left( 1+4y \right)}{4}+y>-\dfrac{4y}{4\ln 64}+y>0$.
Do đó $g\left( \dfrac{1}{4} \right)<0\Leftrightarrow -{{\log }_{4}}\left( 1+\dfrac{y}{4} \right)+y-15<0\Leftrightarrow 1\le y\le 16$ (do y là số nguyên dương).
Vậy $y\in \left\{ -3;-2;-1;1;2;...;16 \right\}$ hay có 19 giá trị y thỏa đề.
Với $y=0$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-16x}}-1=0$ vô nghiệm vì ${{64}^{4{{x}^{2}}-16x}}-1={{64}^{0}}-1=0$, $\forall x\in \left( \dfrac{1}{4};4 \right)$
Với $y=-1$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-17x}}-\left( 1-x \right)=0$ có nghiệm vì ${{g}_{1}}\left( x \right)={{64}^{4{{x}^{2}}-17x}}-\left( 1-x \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$ và ${{g}_{1}}\left( \dfrac{1}{4} \right).{{g}_{1}}\left( 4 \right)<0$.
Với $y=-2$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-18x}}-\left( 1-2x \right)=0$ có nghiệm vì ${{g}_{2}}\left( x \right)={{64}^{4{{x}^{2}}-18x}}-\left( 1-2x \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$ và ${{g}_{2}}\left( \dfrac{1}{4} \right).{{g}_{2}}\left( 4 \right)<0$.
Với $y=-3$, phương trình trở thành: ${{64}^{4{{x}^{2}}-19x}}-\left( 1-3x \right)=0$ có nghiệm vì ${{g}_{3}}\left( x \right)={{64}^{4{{x}^{2}}-19x}}-\left( 1-3x \right)$ liên tục trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$ và ${{g}_{3}}\left( \dfrac{1}{4} \right).{{g}_{3}}\left( 4 \right)<0$.
+) Khi $y\ge 1$, xét trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$, ta có
${{64}^{4{{x}^{2}}+xy}}=\left( 1+xy \right){{64}^{16x}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-16x={{\log }_{64}}\left( 1+xy \right)\Leftrightarrow 4x-16-\dfrac{{{\log }_{64}}\left( 1+xy \right)}{x}+y=0$
Xét hàm số $y=4x-16-\dfrac{{{\log }_{64}}\left( 1+xy \right)}{x}+y$ trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=4+\dfrac{\ln \left( 1+xy \right)}{{{x}^{2}}\ln 64}-\dfrac{y}{x\left( 1+xy \right)\ln 64}>4-\dfrac{1}{4{{x}^{2}}\ln 4}\ge 4-\dfrac{4}{\ln 4}>0$, $\forall x\in \left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$.
Do đó, hàm $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ \dfrac{1}{4};4 \right]$.
Vì thế phương trình $g\left( x \right)=0$ có nghiệm trên $\left( \dfrac{1}{4};4 \right)$ khi và chỉ khi $g\left( \dfrac{1}{4} \right)g\left( 4 \right)<0$.
Áp dụng bất đẳng thức $\ln \left( 1+u \right)<u$ với mọi $u>0$,
ta có $g\left( 4 \right)=-\dfrac{{{\log }_{64}}\left( 1+4y \right)}{4}+y>-\dfrac{4y}{4\ln 64}+y>0$.
Do đó $g\left( \dfrac{1}{4} \right)<0\Leftrightarrow -{{\log }_{4}}\left( 1+\dfrac{y}{4} \right)+y-15<0\Leftrightarrow 1\le y\le 16$ (do y là số nguyên dương).
Vậy $y\in \left\{ -3;-2;-1;1;2;...;16 \right\}$ hay có 19 giá trị y thỏa đề.
Đáp án A.