Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại ${x \in\left(\dfrac{1}{3} ; 4\right)}$ thỏa mãn ${27^{3 x^2+x y}=(1+x y) \cdot 27^{12 x} ?}$
A. 27 .
B. 15
C. 12
D. 14 .
A. 27 .
B. 15
C. 12
D. 14 .
Xét ${{f}({x})=27^{3 {x}^2+{xy}-12 {x}}-(1+{xy})}$.
Áp dụng bất đẳng thức: ${{a}^{{x}} \geq {x}({a}-1)+1}$, ta có
${f(x) \geq 26\left(3 x^2+x y-12 x\right)+1-(1+x y)=78 x^2+(25 y-312) x>0, \forall y \geq 13}$
Do đó ${{y} \leq 12}$.
${{y}=0 \Rightarrow 27^{3 {x}^2-12 {x}}=1 \Leftrightarrow 3 {x}^2-12 {x}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x}=0 \\ {x}=4\end{array}\right.}$
${{y} \leq-3 \Rightarrow {xy}<-1 \Rightarrow {VP}<0}$ (loại)
${{y}=-1, {y}=-2}$ : thỏa mãn
Xét ${{y}>0}$ có ${{f}(4)=27^{4 {y}}-(1+4 {y}) \geq 0, \forall {y}>0}$ và
${{f}\left(\dfrac{1}{3}\right)={f}({x})=3^{{y}-11}-\dfrac{{y}}{3}-1<0, \forall {y} \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}$
Do đó phương trình ${{f}({x})=0}$ có nghiệm ${{x} \in\left(\dfrac{1}{3} ; 4\right), \forall {y} \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}$
Vậy ${{y} \in\{-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}$.
Áp dụng bất đẳng thức: ${{a}^{{x}} \geq {x}({a}-1)+1}$, ta có
${f(x) \geq 26\left(3 x^2+x y-12 x\right)+1-(1+x y)=78 x^2+(25 y-312) x>0, \forall y \geq 13}$
Do đó ${{y} \leq 12}$.
${{y}=0 \Rightarrow 27^{3 {x}^2-12 {x}}=1 \Leftrightarrow 3 {x}^2-12 {x}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}{x}=0 \\ {x}=4\end{array}\right.}$
${{y} \leq-3 \Rightarrow {xy}<-1 \Rightarrow {VP}<0}$ (loại)
${{y}=-1, {y}=-2}$ : thỏa mãn
Xét ${{y}>0}$ có ${{f}(4)=27^{4 {y}}-(1+4 {y}) \geq 0, \forall {y}>0}$ và
${{f}\left(\dfrac{1}{3}\right)={f}({x})=3^{{y}-11}-\dfrac{{y}}{3}-1<0, \forall {y} \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}$
Do đó phương trình ${{f}({x})=0}$ có nghiệm ${{x} \in\left(\dfrac{1}{3} ; 4\right), \forall {y} \in\{1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}$
Vậy ${{y} \in\{-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 12\}}$.
Đáp án D.