Có bao nhiêu số nguyên $y$ để tồn tại số thực $x$ thỏa mãn ${{\log...

Đặt${\log }_3(x+2y)={\log }_2(x^2+y^2)=t\iff \{\begin{array}{rl}& x+2y=3^t\\ & x^2+y^2=2^t\end{array}$(*)
Tacó ${(x+2y)}^2\le (1+4)(x^2+y^2)=5(x^2+y^2)$ nên: $9^t\le {5.2}^t\iff {\left({\displaystyle \frac{9}{2}}\right)}^t\le 5\iff t\le {\log }_{{\displaystyle \frac{9}{2}}}5$.
Suy ra $x^2+y^2=2^t\le 2^{{\log }_{{\displaystyle \frac{9}{2}}}5}\approx 2.1$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{-1;0;1\}$.
+Với $y=-1$,hệ (*) trở thành $\{\begin{array}{rl}& x-2=3^t\\ & x^2+1=2^t\end{array}\Rightarrow {(3^t+2)}^2+1=2^t\iff 9^t+{4.3}^t-2^t+5=0$(**)
Nếu $t<0$ thì $2-2^t>0\Rightarrow 9^t+{4.3}^t-2^t+5>0$.
Nếu $t\ge 0\Rightarrow 9^t-2^t\ge 0\Rightarrow 9^t+{4.3}^t-2^t+5>0$.
Vậy (**)vô nghiệm.
-Với $y=0$ thì hệ (*) trở thành$\{\begin{array}{rl}& x=3^t\\ & x^2=2^t\end{array}\Rightarrow 9^t=2^t\iff {\left({\displaystyle \frac{9}{2}}\right)}^t=1\iff t=0\Rightarrow x=1$.
-Với $y=1$ thì hệ (*) trở thành $\{\begin{array}{rl}& x+2=3^t\\ & x^2+1=2^t\end{array}\Rightarrow {(3^t-2)}^2=2^t-1(\ast \ast \ast )$.
Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm $t=0\Rightarrow x=0$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn là $y=0,y=1$.