Có bao nhiêu số nguyên $y$ để tồn tại số thực $x$ thỏa mãn ${{\log...

Đặt${{\log }_{3}}\left( x+2y \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+2y={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$(*)
Tacó ${{\left( x+2y \right)}^{2}}\le \left( 1+4 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=5\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)$ nên: ${{9}^{t}}\le {{5.2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{9}{2} \right)}^{t}}\le 5\Leftrightarrow t\le {{\log }_{\dfrac{9}{2}}}5$.
Suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{2}^{t}}\le {{2}^{{{\log }_{\dfrac{9}{2}}}5}}\approx 2.1$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ -1;0;1 \right\}$.
+Với $y=-1$,hệ (*) trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x-2={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+1={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\left( {{3}^{t}}+2 \right)}^{2}}+1={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{9}^{t}}+{{4.3}^{t}}-{{2}^{t}}+5=0$(**)
Nếu $t<0$ thì $2-{{2}^{t}}>0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{4.3}^{t}}-{{2}^{t}}+5>0$.
Nếu $t\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}-{{2}^{t}}\ge 0\Rightarrow {{9}^{t}}+{{4.3}^{t}}-{{2}^{t}}+5>0$.
Vậy (**)vô nghiệm.
-Với $y=0$ thì hệ (*) trở thành$\left\{ \begin{aligned}
& x={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{9}^{t}}={{2}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{9}{2} \right)}^{t}}=1\Leftrightarrow t=0\Rightarrow x=1$.
-Với $y=1$ thì hệ (*) trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x+2={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}+1={{2}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\left( {{3}^{t}}-2 \right)}^{2}}={{2}^{t}}-1 \left( *** \right)$.
Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm $t=0\Rightarrow x=0$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn là $y=0, y=1$.