Có bao nhiêu số nguyên ${x}$ thỏa mãn...

Điều kiện: ${x>-25}$.
${
\left(2^{x^2}-4^x\right)\left[\log _3(x+25)-3\right] \leq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
2^{x^2}-4^x \geq 0 \\
\log _3(x+25)-3 \leq 0
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
2^{x^2}-4^x \leq 0 \\
\log _3(x+25)-3 \geq 0
\end{array}\right.
\end{array}\right.
}$
Trường hợp 1: ${\left\{\begin{array}{l}2^{x^2}-4^x \geq 0 \\ \log _3(x+25)-3 \leq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2 x \geq 0 \\ x+25 \leq 27\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{l}x \leq 0 \\ x \geq 2 \\ x \leq 2\end{array}\right.}\end{array}\right.\right.\right.}$
Vì ${x>-25}$ nên ta có: ${\left\{\begin{array}{l}-25<x \leq 0 \\ x=2\end{array}\right.}$ mà ${x \in \mathbb{Z}}$ nên ${x \in\{-24,-23, \ldots,-1,0,2\}}$ (1).
Trường hợp 2: ${\left\{\begin{array}{l}2^{x^2}-4^x \leq 0 \\ \log _3(x+25)-3 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2-2 x \leq 0 \\ x+25 \geq 27\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0 \leq x \leq 2 \\ x \geq 2\end{array} \Leftrightarrow x=2(2)\right.\right.\right.}$.
Từ ${(1)}$ và ${(2)}$ ta có 26 số nguyên ${x}$ thỏa mãn ${\left(2^{x^2}-4^x\right)\left[\log _3(x+25)-3\right] \leq 0}$.
GVPB đề xuất
ĐK: ${x>-25}$
Xét ${2^{x^2}-4^x=0 \Leftrightarrow x^2-2 x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=2\end{array}\right.}$
Xét ${\log _3(x+25)=3 \Leftrightarrow x+25=27 \Leftrightarrow x=2}$
Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu ta có: BPT ${\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-25<x \leq 0 \\ x=2\end{array}\right.}$
${x}$ nguyên nên có 26 giá trị thỏa mãn bài toán.